MAT 21D Final: MAT 21D – Lecture 10 – Substitutions in Triple Integrals
MAT 21D verified notes
10/32View all
Document Summary
Mat 21d lecture 10 substitutions in triple integrals: we have a region g in uvw-space and a region d in xyz-space with (cid:4666)(cid:1876),(cid:1877),(cid:1878)(cid:4667) on, then {(cid:1876)=(cid:1859)(cid:4666)(cid:1873),(cid:1874),(cid:1875)(cid:4667) (cid:1877)= (cid:4666)(cid:1873),(cid:1874),(cid:1875)(cid:4667) (cid:1878)=(cid:4666)(cid:1873),(cid:1874),(cid:1875)(cid:4667)} and thus, (cid:4666)(cid:1876),(cid:1877),(cid:1878)(cid:4667)(cid:1856)(cid:1876)(cid:1856)(cid:1877)(cid:1856)(cid:1878)= The jacobian, (cid:4666)(cid:1873),(cid:1874),(cid:1875)(cid:4667)=||(cid:3051)(cid:3048) (cid:3051)(cid:3049) (cid:3051)(cid:3050) (cid:3053)(cid:3050)||. (cid:3052)(cid:3050) (cid:3052)(cid:3049) (cid:3052)(cid:3048) (cid:3053)(cid:3049) (cid:3053)(cid:3048: cylindrical system (cid:4666)(cid:1870),,(cid:1878)(cid:4667): recall that {(cid:1876)=(cid:1870)(cid:1855)(cid:1867)(cid:1871) Then the jacobian is (cid:1877)=(cid:1870)(cid:1871)(cid:1866) (cid:1878)=(cid:1878) (cid:4666)(cid:1870),,(cid:1878)(cid:4667)=||(cid:3051) (cid:3051)(cid:3053) (cid:3051) (cid:3053)(cid:3053)||=|(cid:1855)(cid:1867)(cid:1871) (cid:1870)(cid:1871)(cid:1866) (cid:882) (cid:883)|=(cid:4666)(cid:1870)(cid:1855)(cid:1867)(cid:1871) (cid:883) (cid:882)(cid:4666)(cid:883)(cid:4667)(cid:4667)(cid:1855)(cid:1867)(cid:1871) (cid:1871)(cid:1866) (cid:1870)(cid:1855)(cid:1867)(cid:1871) (cid:882) (cid:3052) (cid:3052)(cid:3053) (cid:3052) (cid:883) (cid:882) (cid:3053) (cid:3053) ((cid:1871)(cid:1866) (cid:883) (cid:882)(cid:4666)(cid:882)(cid:4667))(cid:4666) (cid:1870)(cid:1871)(cid:1866)(cid:4667)+(cid:4666)(cid:1871)(cid:1866) (cid:883) (cid:882) (cid:1870)(cid:1855)(cid:1867)(cid:1871)(cid:4667) (cid:882)=(cid:1870)(cid:1855)(cid:1867)(cid:1871)(cid:2870)+ (cid:1870)(cid:1871)(cid:1866)(cid:2870)=(cid:1870)(cid:4666)(cid:1855)(cid:1867)(cid:1871)(cid:2870)+(cid:1871)(cid:1866)(cid:2870)(cid:4667)=(cid:1870)(cid:4666)(cid:883)(cid:4667)=(cid:1870). (cid:1856)(cid:1876)(cid:1856)(cid:1877)(cid:1856)(cid:1878) (cid:1870)(cid:1856)(cid:1870)(cid:1856)(cid:1856)(cid:1878): spherical system (cid:4666),,(cid:4667): recall that {(cid:1876)=(cid:1871)(cid:1866)(cid:1855)(cid:1867)(cid:1871) (cid:1877)=(cid:1871)(cid:1866)(cid:1871)(cid:1866) (cid:1878)=(cid:1855)(cid:1867)(cid:1871) }. Then the jacobian is (cid:3051) (cid:3051) (cid:4666)(cid:1870),,(cid:1878)(cid:4667)=||(cid:3051) (cid:3053) (cid:3053)||=|(cid:1871)(cid:1866)(cid:1855)(cid:1867)(cid:1871) (cid:1855)(cid:1867)(cid:1871)(cid:1855)(cid:1867)(cid:1871) (cid:1871)(cid:1866)(cid:1871)(cid:1866) (cid:1855)(cid:1867)(cid:1871)(cid:1871)(cid:1866) (cid:1871)(cid:1866)(cid:1855)(cid:1867)(cid:1871) (cid:3052) (cid:3052) (cid:3052) (cid:1871)(cid:1866) (cid:882) (cid:3053) (cid:4666)(cid:1855)(cid:1867)(cid:1871)(cid:1871)(cid:1866) (cid:882) (cid:1871)(cid:1866)(cid:1855)(cid:1867)(cid:1871)(cid:4666) (cid:1871)(cid:1866)(cid:4667)(cid:4667)(cid:1871)(cid:1866)(cid:1855)(cid:1867)(cid:1871) (cid:4666)(cid:1871)(cid:1866)(cid:1871)(cid:1866) (cid:882) (cid:1871)(cid:1866)(cid:1855)(cid:1867)(cid:1871)(cid:1855)(cid:1867)(cid:1871)(cid:4667)(cid:1855)(cid:1867)(cid:1871)(cid:1855)(cid:1867)(cid:1871)+(cid:4666)(cid:1871)(cid:1866)(cid:1871)(cid:1866)(cid:4666) (cid:1871)(cid:1866)(cid:4667) (cid:1855)(cid:1867)(cid:1871)(cid:1871)(cid:1866)(cid:1855)(cid:1867)(cid:1871)(cid:4667)(cid:4666) (cid:1871)(cid:1866)(cid:1871)(cid:1866)(cid:4667)=(cid:4666)(cid:2870)(cid:1871)(cid:1866)(cid:2870)(cid:1855)(cid:1867)(cid:1871)(cid:4667)(cid:1871)(cid:1866)(cid:1855)(cid:1867)(cid:1871)+ (cid:1871)(cid:1866)(cid:1855)(cid:1867)(cid:1871)(cid:1855)(cid:1867)(cid:1871)(cid:4666)(cid:1855)(cid:1867)(cid:1871)(cid:1855)(cid:1867)(cid:1871)(cid:4667) (cid:4666)(cid:1871)(cid:1866)(cid:2870)(cid:1871)(cid:1866) (cid:1855)(cid:1867)(cid:1871)(cid:1871)(cid:1866)(cid:1855)(cid:1867)(cid:1871)(cid:4667)(cid:4666) (cid:1871)(cid:1866)(cid:1871)(cid:1866)(cid:4667)=(cid:2870)(cid:1871)(cid:1866)(cid:2871)(cid:1855)(cid:1867)(cid:1871)(cid:2870)+(cid:2870)(cid:1871)(cid:1866)(cid:1855)(cid:1867)(cid:1871)(cid:2870)(cid:1855)(cid:1867)(cid:1871)(cid:2870)+ (cid:2870)(cid:1871)(cid:1866)(cid:2871)(cid:1871)(cid:1866)(cid:2870)+(cid:2870)(cid:1871)(cid:1866)(cid:1855)(cid:1867)(cid:1871)(cid:2870)(cid:1871)(cid:1866)(cid:2870)=(cid:2870)(cid:1871)(cid:1866)(cid:4666)(cid:1871)(cid:1866)(cid:2870)(cid:1855)(cid:1867)(cid:1871)(cid:2870)+(cid:1855)(cid:1867)(cid:1871)(cid:2870)(cid:1855)(cid:1867)(cid:1871)(cid:2870)+ (cid:1871)(cid:1866)(cid:2870)(cid:1871)(cid:1866)(cid:2870)+(cid:1855)(cid:1867)(cid:1871)(cid:2870)(cid:1871)(cid:1866)(cid:2870)(cid:4667)=(cid:2870)(cid:1871)(cid:1866)[(cid:1855)(cid:1867)(cid:1871)(cid:2870)(cid:4666)(cid:1871)(cid:1866)(cid:2870)+(cid:1855)(cid:1867)(cid:1871)(cid:2870)(cid:4667)+ (cid:1871)(cid:1866)(cid:2870)(cid:4666)(cid:1871)(cid:1866)(cid:2870)+(cid:1855)(cid:1867)(cid:1871)(cid:2870)(cid:4667)]=(cid:2870)(cid:1871)(cid:1866)(cid:4666)(cid:1855)(cid:1867)(cid:1871)(cid:2870)+(cid:1871)(cid:1866)(cid:2870)(cid:4667)=(cid:2870)(cid:1871)(cid:1866)(cid:4666)(cid:883)(cid:4667)=(cid:2870)(cid:1871)(cid:1866). (cid:4666)(cid:2870)(cid:3051) (cid:3052)(cid:2870) +(cid:3053)(cid:2871)(cid:4667)(cid:1856)(cid:1876)(cid:1856)(cid:1877)(cid:1856)(cid:1878): example: evaluate (cid:3051)=(cid:3300)(cid:3118)+(cid:2869) (cid:2872)(cid:2868)(cid:2871)(cid:2868) (cid:3051)=(cid:3300)(cid:3118) (cid:1871)(cid:1866)(cid:1871)(cid:1866) (cid:1855)(cid:1867)(cid:1871)
