MAT 21D Study Guide - Final Guide: Unit Vector, Dot Product

• School: UC-Davis
• Department: Mathematics
• Course: MAT 21D
• Professor: Shiqian Ma

Document Summary

|(cid:3049) | : example: a straight line is parameterized by (cid:1870) (cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)=(cid:2835) +(cid:1872) (cid:3642)(cid:1870) (cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)= (cid:3642) = (cid:3049) |(cid:3049) | where is a constant vector. The curvature, = (cid:2869)|(cid:3049) ||(cid:3031) (cid:3031)(cid:3047)|= (cid:2869)|(cid:3049) ||(cid:882) |=(cid:882). =(cid:882), then it indicates that the curve never turns: example 2: a circle is parameterized by (cid:1870) (cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)=(cid:4666)(cid:1867)(cid:1871)(cid:1872)(cid:4667)(cid:2835) +(cid:4666)(cid:1871)(cid:1866)(cid:1872)(cid:4667)(cid:2836) where is the radius. =(cid:4666) (cid:1871)(cid:1866)(cid:1872)(cid:4667)(cid:2835) +(cid:4666)(cid:1867)(cid:1871)(cid:1872)(cid:4667)(cid:2836) (cid:3642)(cid:3031) (cid:3031)(cid:3047)=(cid:4666) (cid:1867)(cid:1871)(cid:1872)(cid:4667)(cid:2835) (cid:4666)(cid:1871)(cid:1866)(cid:1872)(cid:4667)(cid:2836) where |(cid:3031) (cid:3031)(cid:3047)|= (cid:4666) (cid:1867)(cid:1871)(cid:1872)(cid:4667)(cid:2870)+(cid:4666) (cid:1871)(cid:1866)(cid:1872)(cid:4667)(cid:2870)=(cid:883). Thus, = (cid:2869)|(cid:3049) ||(cid:3031) (cid:3031)(cid:3047)|==(cid:2869) (cid:883)=(cid:2869)= (cid:2869)(cid:3045)(cid:3031)(cid:3048)(cid:3046), which is a constant. If | |=(cid:883), then (cid:3031) (cid:3031)(cid:3046) is orthogonal to . If =|(cid:3031) (cid:3031)(cid:3046)|, then =(cid:2869)(cid:3031) (cid:3031)(cid:3046) is the principal unit normal vector. The vector (cid:3031) (cid:3031)(cid:3046) points in the direction that turns as the curve bends. Thus, always points towards the concave side of the curve. If (cid:1870) (cid:4666)(cid:1872)(cid:4667), then = (cid:3294)| (cid:3294)|= (cid:3295)(cid:3295)(cid:3294: example: compute and when (cid:1870) (cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)=(cid:4666)(cid:1867)(cid:1871)(cid:884)(cid:1872)(cid:4667)(cid:2835) +(cid:4666)(cid:1871)(cid:1866)(cid:884)(cid:1872)(cid:4667)(cid:2836) . (cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)=(cid:4666) (cid:884)(cid:1871)(cid:1866)(cid:884)(cid:1872)(cid:4667)(cid:2835) +(cid:4666)(cid:884)(cid:1867)(cid:1871)(cid:884)(cid:1872)(cid:4667)(cid:2836) (cid:3642) | (cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)|= (cid:4666) (cid:884)(cid:1871)(cid:1866)(cid:884)(cid:1872)(cid:4667)(cid:2870)+(cid:4666)(cid:884)(cid:1867)(cid:1871)(cid:884)(cid:1872)(cid:4667)(cid:2870)=