MATH 33B Lecture 16: Lecture 16
Document Summary
+(cid:1868) +(cid:1869)=(cid:882) (cid:4666)(cid:883)(cid:4667) (cid:2870)+(cid:1868)+(cid:1869)=(cid:882) (cid:4666) (cid:2869)(cid:4667)(cid:4666) (cid:2870)(cid:4667)=(cid:882) where the characteristic roots are (cid:2869),(cid:2870)= (cid:3043) (cid:3043)2 (cid:2872)(cid:3044) (cid:2870) We can rewrite equation (cid:4666)(cid:883)(cid:4667) as follows: ((cid:1856)(cid:1856) (cid:2869))((cid:1856)(cid:1856) (cid:2870))=(cid:882) (cid:4666)(cid:884)(cid:4667) where (cid:4672) (cid:2869)(cid:4673),(cid:4672) (cid:2870)(cid:4673) are differential operators with constant coefficients. The method of undetermined coefficients suggests we try (cid:3043)=(cid:1827)(cid:1857) =(cid:1827)(cid:2870)(cid:4666)(cid:4667). (cid:884)(cid:1857) . ((cid:1856)(cid:1856)+(cid:883))(cid:4666)(cid:884)(cid:1857) (cid:4667)= (cid:884)(cid:1857) +(cid:884)(cid:1857) =(cid:882) Let"s apply (cid:4672)+(cid:883)(cid:4673) to (cid:4666)(cid:885)(cid:4667). ((cid:1856)(cid:1856)+(cid:883))(cid:4666) (cid:885) (cid:886)(cid:4667)=((cid:1856)(cid:1856)+(cid:883))(cid:4666)(cid:884)(cid:1857) (cid:4667) ((cid:1856)(cid:1856)+(cid:883))((cid:1856)(cid:1856) (cid:886))((cid:1856)(cid:1856)+(cid:883))=(cid:882) (cid:4666)(cid:886)(cid:4667) Any solution to equation (cid:4666)(cid:885)(cid:4667) is also a solution to equation (cid:4666)(cid:886)(cid:4667). Equation (cid:4666)(cid:886)(cid:4667) is a constant coefficient homogeneous equation of degree (cid:885). However, this is a solution to the associated homogeneous equation. We look for a constant coefficient differential operator that annihilates the right-hand side, namely, (cid:886) The fundamental set of solutions for (cid:4666)(cid:886)(cid:4667) is (cid:2869)(cid:4666)(cid:4667)=(cid:1857)(cid:2872) (cid:2870)(cid:4666)(cid:4667)=(cid:1857) (cid:2871)(cid:4666)(cid:4667)=(cid:1857) . The general solution for (cid:4666)(cid:886)(cid:4667) is (cid:4666)(cid:4667)=(cid:1855)(cid:2869)(cid:1857)(cid:2872)+(cid:1855)(cid:2870)(cid:1857) +(cid:1855)(cid:2871)(cid:1857) with (cid:1855)(cid:2869),(cid:1855)(cid:2870),(cid:1855)(cid:2871) (cid:4666) , (cid:4667). Since (cid:1855)(cid:2869)(cid:1857)(cid:2872)+(cid:1855)(cid:2870)(cid:1857) solves the homogeneous equation associated to (cid:4666)(cid:885)(cid:4667), try (cid:3043)(cid:4666)(cid:4667)=(cid:1827)(cid:1857) (cid:3043) (cid:4666)(cid:4667)=(cid:1827)(cid:1857) (cid:1827)(cid:1857) (cid:3043) (cid:4666)(cid:4667)= (cid:884)(cid:1827)(cid:1857) +(cid:1827)(cid:1857) .
