MATH 33B Lecture Notes - Lecture 14: Eigenvalues And Eigenvectors
Document Summary
Fundamental set of solutions (cid:1868)(cid:2870) (cid:886)(cid:1869)>(cid:882) (cid:2869),(cid:2870) and (cid:2869) (cid:2870) Question: do (cid:2869) and (cid:2870) form a fundamental set of solutions? (cid:1857) (cid:4672)(cid:2870)(cid:4673) (cid:1857) (cid:4672)(cid:2870)(cid:4673) (cid:1868)(cid:884)(cid:1857) (cid:4672)(cid:2870)(cid:4673)(cid:4685) Find a solution to the initial-value problem { +(cid:886) +(cid:886)=(cid:882) (cid:4666)(cid:882)(cid:4667)=(cid:884) The characteristic roots are (cid:2869)= (cid:2870)= (cid:884) (cid:2869)(cid:4666)(cid:4667)=(cid:1857) (cid:2870),(cid:2870)(cid:4666)(cid:4667)=(cid:1857) (cid:2870) General solution is (cid:4666)(cid:4667)=(cid:1855)(cid:2869)(cid:1857) (cid:2870)+(cid:1855)(cid:2870)(cid:1857) (cid:2870) with (cid:1855)(cid:2869),(cid:1855)(cid:2870) (cid:4666) , (cid:4667) constants (cid:4666)(cid:882)(cid:4667)=(cid:884) (cid:1855)(cid:2869)=(cid:884) (cid:4666)(cid:2869),(cid:2870)(cid:4667)(cid:4666)(cid:4667)=det(cid:4684) (cid:1857) (cid:4672)(cid:2870)(cid:4673) The solution is an -times continuously differentiable function of . This equation has characteristic roots (cid:2869), ,. (cid:2869), , (cid:3036) (cid:3037) if (cid:1861) (cid:1862) There are some distinct real roots and some distinct complex roots. The general solution is (cid:4666)(cid:4667)=(cid:1855)(cid:2869)(cid:1857)(cid:3117)+(cid:1710)+(cid:1855)(cid:1857) with (cid:1855)(cid:2869),(cid:1855)(cid:2870) (cid:4666) , (cid:4667) constants. As (cid:1868)(cid:2869), ,(cid:1868) , if =(cid:1853)+(cid:1861)(cid:1854) is a characteristic root, then. The general solution is (cid:4666)(cid:4667)=(cid:1855)(cid:2869)(cid:2869)(cid:4666)(cid:4667)+(cid:1710)+(cid:1855)(cid:4666)(cid:4667) with (cid:1855)(cid:2869),(cid:1855)(cid:2870) (cid:4666) , (cid:4667) constants (cid:4666)(cid:2873)(cid:4667) (cid:885)(cid:4666)(cid:2872)(cid:4667)+(cid:885) (cid:885) +(cid:884) =(cid:882) (cid:2873) (cid:885)(cid:2872)+(cid:885)(cid:2871) (cid:885)(cid:2870)+(cid:884)=(cid:882) (cid:4666)(cid:2872) (cid:885)(cid:2871)+(cid:885)(cid:2870) (cid:885)+(cid:884)(cid:4667)=(cid:882) (cid:4666) (cid:883)(cid:4667)(cid:4666)(cid:2871) (cid:884)+ (cid:884)(cid:4667)=(cid:882) (cid:4666) (cid:883)(cid:4667)(cid:4666) (cid:884)(cid:4667)(cid:4666)(cid:2870)+(cid:883)(cid:4667)=(cid:882) (cid:2869)=(cid:882) (cid:2871)=(cid:884) (cid:2872)=(cid:1861) (cid:2870)=(cid:883) (cid:2873)= (cid:1861)
