MATA23H3 Lecture Notes - Lecture 21: Diagonalizable Matrix, Linear Combination, Nspace
Document Summary
Theorem (cid:882) (cid:1854)(cid:3038) (cid:882: diagonalizing a matrix (cid:882) (cid:1855)(cid:3038)] (cid:882) Let (cid:1827) (cid:4666) (cid:4667). (cid:1827) is diagonal, (cid:1853)(cid:3036)(cid:3037)=(cid:882) if (cid:1861) (cid:1862) (cid:1827)=[(cid:1853) (cid:882) (cid:882) (cid:882) (cid:882) (cid:1855)] (cid:1827)(cid:3038)=[(cid:1853)(cid:3038) (cid:882) (cid:1854) (cid:882) (cid:882) (cid:882) If (cid:1827) is diagonal, to raise (cid:1827) to the power (cid:1863), we need only raise the diagonal elements of (cid:1827) to the power (cid:1863) Then can replace (cid:1827)(cid:3038) by (cid:1830)(cid:3038) where (cid:1830) is a diagonal matrix with the eigenvalue of (cid:1827) Let (cid:1827) be an (cid:1866) (cid:1866) matrix and let (cid:2869),(cid:2870), , be (possibly complex) scalars and let. Let (cid:1829) be the (cid:1866) (cid:1866) matrix having (cid:3037) as the (cid:1862) column vector, and let (cid:1830)=[(cid:1856)(cid:3036)(cid:3037)] where (cid:1856)(cid:3036)(cid:3037){(cid:3037),(cid:1861)(cid:1858) (cid:1861)=(cid:1862) (cid:882),(cid:1861)(cid:1858) (cid:1861) (cid:1862) . Then (cid:1827)(cid:1829)=(cid:1829)(cid:1830) iff (cid:2869),(cid:2870), , are eigenvalues of (cid:1827) and (cid:3037)is an eigenvector corresponding to (cid:3037)for (cid:1862)=(cid:883),(cid:884), ,(cid:1866) (cid:1829)(cid:1830)=[ (cid:2869), (cid:2870), , ][ (cid:2869) (cid:882) (cid:882)
