MATA23H3 Lecture Notes - Lecture 12: Euclidean Vector, Scalar Multiplication, River Irk
Document Summary
Range to the set of image (cid:1844)(cid:1866)(cid:1859)(cid:1857) (cid:1858)[(cid:1876)]={(cid:1877)=(cid:1858)(cid:4666)(cid:1876)(cid:4667)|(cid:1876) (cid:1850)}={(cid:1877) (cid:1851)|(cid:1877)=(cid:1858)(cid:4666)(cid:1876)(cid:4667),(cid:1876) (cid:1850)} Mata23 lecture 12 (cid:1858):(cid:1876) (cid:1877) is a rule which assigns to each (cid:1876) (cid:1850) a unique (cid:1877)=(cid:1858)(cid:4666)(cid:1876)(cid:4667) in (cid:1851) A function maps the set (cid:1850) to the set (cid:1851) x domain y range. Inverse image of (cid:1863) under (cid:1858) (cid:1858): which preserves linear spaces process euclidean space. A function (cid:1846): which satisfies: (cid:1846)(cid:4666)(cid:1873)+(cid:1875)(cid:4667)=(cid:1846)(cid:4666)(cid:1873)(cid:4667)+(cid:1846)(cid:4666)(cid:1875)(cid:4667), for all (cid:1873),(cid:1875) (preservation of vector addition, (cid:1846)(cid:4666)(cid:2019)(cid:1873)(cid:4667)=(cid:2019)(cid:1846)(cid:4666)(cid:1873)(cid:4667),(cid:1858)(cid:1867)(cid:1870) (cid:1864)(cid:1864) (cid:1873) ,(cid:2019) (preservation of scalar multiplication) is called a linear transformation. Example (cid:1838)(cid:1857)(cid:1872) (cid:1873) ,(cid:1875) ,(cid:2019),(cid:2020) (cid:1846)(cid:4666)(cid:2019)(cid:1873) +(cid:2020)(cid:1875) (cid:4667)= (cid:2019)(cid:1846)(cid:4666)(cid:1874) (cid:4667) (cid:1874) ,(cid:2019) ,(cid:1858)(cid:1867)(cid:1870) (cid:1864)(cid:1864) (cid:1846)((cid:882) )=(cid:1846)((cid:882) (cid:882) )=(cid:882)(cid:1846)((cid:882) )=(cid:882) (cid:1846)((cid:882) )=(cid:882) (cid:1846)(cid:4666)[(cid:1876),(cid:1877),(cid:1878)](cid:4667)=[(cid:1876)+(cid:1877),(cid:1876) (cid:1878)] (cid:1846): (cid:2871) (cid:2870), Since both conditions are satisfied, t is a linear transformation: (cid:1873) =[(cid:1873)(cid:2869),(cid:1873)(cid:2870),(cid:1873)(cid:2871)],(cid:1875) =[(cid:1875)(cid:2869),(cid:1875)(cid:2870),(cid:1875)(cid:2871)] (cid:2871) (cid:1846)(cid:4666)(cid:1873) +(cid:1875) (cid:4667)=(cid:1846)(cid:4666)[(cid:1873)(cid:2869)+(cid:1875)(cid:2869),(cid:1873)(cid:2870)+(cid:1875)(cid:2870),(cid:1873)(cid:2871)+(cid:1875)(cid:2871)](cid:4667) (cid:1846) preserves addition: (cid:1873) (cid:2871),(cid:2019) (cid:1846)(cid:4666)(cid:2019)(cid:1873) (cid:4667)=(cid:1846)(cid:4666)[(cid:2019)(cid:1873)(cid:2869),(cid:2019)(cid:1873)(cid:2870),(cid:2019)(cid:1873)(cid:2871)](cid:4667)=[(cid:2019)(cid:1873)(cid:2869)+(cid:2019)(cid:1873)(cid:2870),(cid:2019)(cid:1873)(cid:2869) (cid:2019)(cid:1873)(cid:2871)] (cid:1846) preserves scalar multiplication (cid:1846)(cid:4666)[(cid:1876),(cid:1877)](cid:4667)=[(cid:1876)(cid:2870),(cid:1876)+(cid:1877)] (cid:1846): (cid:2870) (cid:2870), (cid:1873) =[(cid:1873)(cid:2869),(cid:1873)(cid:2870)],(cid:1875) =[(cid:1875)(cid:2869),(cid:1875)(cid:2870)] (cid:2870),(cid:2019) .
