MATH109 Lecture Notes - Lecture 10: Indeterminate Form

• School: University of Waterloo
• Department: Mathematics
• Course: MATH109
• Professor: Brian Leal Fernandes

Document Summary

Properties of limits: if f(x) = c is constant, then lim . (cid:3028)(cid:1855)=(cid:1855: (cid:1864)(cid:1865) (cid:3028) (cid:1876)(cid:3041)=(cid:1853)(cid:3041), for all positive integers n, if (cid:1864)(cid:1865) (cid:3028) (cid:1858)(cid:4666)(cid:1876)(cid:4667) and (cid:1864)(cid:1865) (cid:3028) (cid:1859)(cid:4666)(cid:1876)(cid:4667) exist then (cid:1864)(cid:1865) (cid:3028)((cid:1858)(cid:4666)(cid:1876)(cid:4667) (cid:1859)(cid:4666)(cid:1876)(cid:4667))=(cid:1864)(cid:1865) (cid:3028)(cid:1858)(cid:4666)(cid:1876)(cid:4667) (cid:1864)(cid:1865) (cid:3028)(cid:1859)(cid:4666)(cid:1876)(cid:4667, (cid:1864)(cid:1865) (cid:3028)((cid:1858)(cid:4666)(cid:1876)(cid:4667)(cid:1859)(cid:4666)(cid:1876)(cid:4667))=(cid:1864)(cid:1865) (cid:3028)(cid:1858)(cid:4666)(cid:1876)(cid:4667) (cid:1864)(cid:1865) (cid:3028)(cid:1859)(cid:4666)(cid:1876)(cid:4667, (cid:1864)(cid:1865) (cid:3028)(cid:1855)(cid:1858)(cid:4666)(cid:1876)(cid:4667)=(cid:1855)(cid:1864)(cid:1865) (cid:3028)(cid:1858)(cid:4666)(cid:1876)(cid:4667) (cid:3039)(cid:3040) (cid:3034)(cid:4666)(cid:4667) ,(cid:1858) (cid:1864)(cid:1865) (cid:3028) (cid:1859)(cid:4666)(cid:1876)(cid:4667) (cid:882, (cid:1864)(cid:1865) (cid:3028)(cid:3033)(cid:4666)(cid:4667)(cid:3034)(cid:4666)(cid:4667)=(cid:3039)(cid:3040) (cid:3033)(cid:4666)(cid:4667) Note that we can only find limits by direct evaluation (direct substitution into equation) when there is an explicit rule for it (like polynomials). In general, evaluating f(a) may not give correct limit. For example, find(cid:1864)(cid:1865) (cid:2869)(cid:3118) (cid:2869)+(cid:2869) ; (cid:1858)(cid:4666)(cid:1876)(cid:4667)=(cid:3118) (cid:2869)+(cid:2869) (cid:4666)+(cid:2869)(cid:4667) =(cid:4666)(cid:1876) (cid:883)(cid:4667) ,(cid:1876) (cid:883)(restriction based on denominator of original function) (cid:1858)(cid:4666)(cid:1876)(cid:4667)=(cid:3118) (cid:2869)+(cid:2869)= (cid:4666)+(cid:2869)(cid:4667)(cid:4666) (cid:2869)(cid:4667) Now, (cid:1864)(cid:1865) (cid:2869)(cid:4666)(cid:1876) (cid:883)(cid:4667)=(cid:4666) (cid:883)(cid:4667) (cid:883)= (cid:884) we substituted x with the value for which the limit is being found. Substituting is allowed when the function is a polynomial, like (cid:4666)(cid:1876) (cid:883)(cid:4667).