MATH 140 Final: MATH 140 Final Exam 2009 Winter Deferred Solutions

• School: McGill University
• Department: Mathematics and Statistics
• Course: MATH 140
• Professor: All

Document Summary

Tips & tricks: the diagram below shows the situation. See that for any rectangle to be the biggest rectangle its top points should touch ob and ab. The slope of the line ob is (cid:2869)(cid:2870)(cid:2879)(cid:2868)(cid:2874)(cid:2879)(cid:2868)(cid:3404)(cid:884) so that its equation is (cid:1877)(cid:3404)(cid:884)(cid:1876). The slope of the line ab is (cid:2874)(cid:2879)(cid:2869)(cid:2868)(cid:3404)(cid:3398)(cid:885) so that its equation is (cid:1877)(cid:3404)(cid:3398)(cid:885)(cid:4666)(cid:1876)(cid:3398)(cid:883)(cid:882)(cid:4667)(cid:3404)(cid:3398)(cid:885)(cid:1876)(cid:3397) (cid:2869)(cid:2870)(cid:2879)(cid:2868) (cid:885)(cid:882). Therefore in the case where the bottom points of the rectangle are (cid:4666)(cid:1871)(cid:481)(cid:882)(cid:4667)(cid:481)(cid:4666)(cid:1872)(cid:481)(cid:882)(cid:4667) like in the graph, the top points are (cid:4666)(cid:1871)(cid:481)(cid:884)(cid:1871)(cid:4667)(cid:481)(cid:4666)(cid:1872)(cid:481)(cid:3398)(cid:885)(cid:1872)(cid:3397)(cid:885)(cid:882)(cid:4667). Because we need the y-coordinates of these points to be the same (as it is a rectangle), (cid:884)(cid:1871)(cid:3404)(cid:3398)(cid:885)(cid:1872)(cid:3397) (cid:885)(cid:882) so(cid:1871)(cid:3404)(cid:3398)(cid:2871)(cid:3047)(cid:2870)(cid:3397)(cid:883)(cid:887). The area of the rectangle is (cid:884)(cid:1871)(cid:4666)(cid:1872)(cid:3398) (cid:1871)(cid:4667)(cid:3404)(cid:4666)(cid:3398)(cid:885)(cid:1872)(cid:3397)(cid:885)(cid:882)(cid:4667)(cid:4672)(cid:2873)(cid:3047)(cid:2870)(cid:3398)(cid:883)(cid:887)(cid:4673)(cid:3404)(cid:3398)(cid:2869)(cid:2873)(cid:3047)(cid:3118)(cid:2870) (cid:3397)(cid:883)(cid:884)(cid:882)(cid:1872)(cid:3398)(cid:886)(cid:887)(cid:882)(cid:3404)(cid:1827)(cid:4666)(cid:1872)(cid:4667). To maximize a we differentiate. (cid:1827)(cid:4593)(cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)(cid:3404)(cid:3398)(cid:883)(cid:887)(cid:1872)(cid:3397)(cid:883)(cid:884)(cid:882)(cid:3404)(cid:882) when (cid:1872)(cid:3404)(cid:890). When (cid:1872)(cid:3404)(cid:890)(cid:481)(cid:1871)(cid:3404)(cid:885) and so the dimensions of the rectangle are (cid:4666)(cid:1872)(cid:3398)(cid:1871)(cid:4667)(cid:3400)(cid:4666)(cid:884)(cid:1871)(cid:4667)(cid:3404)(cid:887)(cid:3400)(cid:888). See that (cid:142)(cid:139)(cid:143)(cid:3051)(cid:1372)(cid:2868)(cid:3126) (cid:2870)(cid:2922)(cid:2924)(cid:3051) (cid:2869)(cid:2878)(cid:2922)(cid:2924)(cid:3051)(cid:3404)(cid:142)(cid:139)(cid:143)(cid:3051)(cid:1372)(cid:2868)(cid:3126) (cid:2870)(cid:3117)(cid:3170)(cid:3172)(cid:3299)(cid:2878)(cid:2869)(cid:3404)(cid:884), so that the answer is (cid:1857)(cid:2870): the diagram below explains the situation, with (cid:1827) being the top of the ladder, (cid:1828) being the bottom of the (cid:3031)(cid:3051)(cid:3031)(cid:3047)(cid:3404)(cid:883).