MATH 33B Lecture Notes - Lecture 10: Integral Curve, Phase Diagram
Document Summary
The equilibrium points are the points (cid:1876) for which (cid:1876)sin(cid:1876)=(cid:882) so (cid:1876)= for . The(cid:396)efo(cid:396)e, (cid:271)(cid:455) pi(cid:272)a(cid:396)d"s theo(cid:396)e(cid:373), the(cid:396)e e(cid:454)ists a u(cid:374)i(cid:395)ue solutio(cid:374) (cid:449)hose (cid:272)u(cid:396)(cid:448)e passes th(cid:396)ough (c) draw a phase diagram and identify the stable and unstable points. The stable points are (cid:1876)= for {(cid:883),(cid:885),(cid:887),(cid:889), } and { (cid:884), (cid:886), (cid:888), } The unstable points are (cid:1876)= for {(cid:882),(cid:884),(cid:886),(cid:888), } and { (cid:883), (cid:885), (cid:887), } (d) sketch the equilibrium solutions in the (cid:1876) plane. Sketch at least one solution curve in each of the regions delineated by the equilibrium solutions. Determine a function (cid:1842)(cid:4666)(cid:1876),(cid:1877)(cid:4667) so that the following equation is exact on (cid:1844)=(cid:4666)(cid:882), (cid:4667) (cid:4666) , (cid:4667) Let (cid:1843)(cid:4666)(cid:1876),(cid:1877)(cid:4667)=(cid:1876)(cid:1857)(cid:3051)(cid:3052)+(cid:884)(cid:1876)(cid:1877)+(cid:2869)(cid:3051): continuous on (cid:1844), differentiable with respect to (cid:1876), and (cid:3018)(cid:3051)=(cid:1857)(cid:3051)(cid:3052)+ (cid:1876)(cid:1877)(cid:1857)(cid:3051)(cid:3052)+(cid:884)(cid:1877) (cid:2869)(cid:3051)2 (cid:1842)(cid:4666)(cid:1876),(cid:1877)(cid:4667)(cid:1856)(cid:1876)+(cid:4672)(cid:1876)(cid:1857)(cid:3051)(cid:3052)+(cid:884)(cid:1876)(cid:1877)+(cid:2869)(cid:3051)(cid:4673)(cid:1856)(cid:1877)=(cid:882) To solve this equation we look for implicit solutions of the form with. For the equation to be exact, we need (cid:3017)(cid:3052)=(cid:3018)(cid:3051) (cid:1842)(cid:4666)(cid:1876),(cid:1877)(cid:4667)= (cid:1857)(cid:3051)(cid:3052)(cid:1856)(cid:1877)+ (cid:1877)(cid:1876)(cid:1857)(cid:3051)(cid:3052)(cid:1856)(cid:1877)+(cid:1877)(cid:2870) (cid:1877)(cid:1876)(cid:2870)=(cid:883)(cid:1876)(cid:1857)(cid:3051)(cid:3052)+(cid:1877)(cid:1857)(cid:3051)(cid:3052) (cid:1857)(cid:3051)(cid:3052)(cid:1856)(cid:1877)+(cid:1877)(cid:2870) (cid:1877)(cid:1876)(cid:2870) (cid:1842)(cid:4666)(cid:1876),(cid:1877)(cid:4667)=(cid:1877)(cid:1857)(cid:3051)(cid:3052)+(cid:1877)(cid:2870) (cid:1877)(cid:1876)(cid:2870) ((cid:1876),(cid:1877)(cid:4666)(cid:1876)(cid:4667))=constant.
