MATH 33B Lecture Notes - Lecture 12: Wronskian
Document Summary
Let be an open interval on (cid:4666) , (cid:4667) containing (cid:1872)(cid:2868) and assume (cid:1868),(cid:1869): (cid:4666) , (cid:4667) are continuous. Then all solutions are of the form (cid:1855)(cid:2869)(cid:2869)+(cid:1855)(cid:2870)(cid:2870) for some (cid:1855)(cid:2869),(cid:1855)(cid:2870) (cid:4666) , (cid:4667) if and only if (cid:4666)(cid:2869),(cid:2870)(cid:4667) (cid:882). is the wronskian determinant of (cid:2869) and (cid:2870). If (cid:4666)(cid:2869),(cid:2870)(cid:4667)(cid:4666)(cid:1872)(cid:2868)(cid:4667) (cid:882), we say that (cid:2869) and (cid:2870) form a fundamental set of solutions. =(cid:1855)(cid:2869)(cid:2869)+(cid:1855)(cid:2870)(cid:2870) with (cid:1855)(cid:2869),(cid:1855)(cid:2870) (cid:4666) , (cid:4667) is called the general solution. Let be an open interval containing (cid:1872)(cid:2868) and assume (cid:1868),(cid:1869): (cid:4666) , (cid:4667) are continuous. Let (cid:2869): (cid:4666) , (cid:4667) be the solution to the initial-value problem. (cid:4666)(cid:1872)(cid:2868)(cid:4667)=(cid:882) and let (cid:2870): (cid:4666) , (cid:4667) be the solution to the initial-value problem. Then (cid:2869) and (cid:2870) form a fundamental set of solutions. Let"s differe(cid:374)tiate (cid:4666)(cid:2869),(cid:2870)(cid:4667)(cid:4666)(cid:1872)(cid:4667) with respect to (cid:1872). (cid:1856)(cid:1856)(cid:1872)(cid:4666)(cid:2869),(cid:2870)(cid:4667)(cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)=(cid:1856)(cid:1856)(cid:1872)det((cid:2869)(cid:4666)(cid:1872)(cid:4667) (cid:2870)(cid:4666)(cid:1872)(cid:4667) (cid:2869) (cid:4666)(cid:1872)(cid:4667) (cid:2870) (cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)) (cid:1856)(cid:1856)(cid:1872)(cid:4666)(cid:2869),(cid:2870)(cid:4667) (cid:3047) (cid:4666)(cid:2869),(cid:2870)(cid:4667) (cid:1856)(cid:1871)= (cid:1868)(cid:4666)(cid:1871)(cid:4667)(cid:1856)(cid:1871) (cid:3047)(cid:3116) (cid:883)(cid:883)ln|(cid:4666)(cid:2869),(cid:2870)(cid:4667)||(cid:3046)=(cid:3047)(cid:3116) (cid:3046)=(cid:3047) = (cid:1868)(cid:4666)(cid:1871)(cid:4667)(cid:1856)(cid:1871) (cid:3047) (cid:3047)(cid:3116)
