MATH 33B Lecture Notes - Lecture 7: Partial Differential Equation, Integrating Factor
Document Summary
Solve this equation subject to the initial condition (cid:1877)(cid:4666)(cid:882)(cid:4667)=(cid:884). (cid:1842)(cid:4666)(cid:1876),(cid:1877)(cid:4667)=cos(cid:4666)(cid:1876)(cid:4667)sin(cid:4666)(cid:1876)(cid:4667) (cid:1876)(cid:1877)(cid:2870) (cid:1843)(cid:4666)(cid:1876),(cid:1877)(cid:4667)=(cid:1877)(cid:4666)(cid:883) (cid:1876)(cid:2870)(cid:4667) Clearly (cid:1842)(cid:4666)(cid:1876),(cid:1877)(cid:4667) and (cid:1843)(cid:4666)(cid:1876),(cid:1877)(cid:4667) are continuous on (cid:1844). (cid:1842)(cid:4666)(cid:1876),(cid:1877)(cid:4667) is differentiable with respect to (cid:1877) and (cid:3017)(cid:3052)= (cid:884)(cid:1876)(cid:1877) is continuous on (cid:1844). (cid:1843)(cid:4666)(cid:1876),(cid:1877)(cid:4667) is differentiable with respect to (cid:1876) and (cid:3018)(cid:3051)= (cid:884)(cid:1876)(cid:1877) is continuous on (cid:1844). As (cid:3017)(cid:3052)(cid:4666)(cid:1876),(cid:1877)(cid:4667)=(cid:3018)(cid:3051)(cid:4666)(cid:1876),(cid:1877)(cid:4667) for any (cid:4666)(cid:1876),(cid:1877)(cid:4667) (cid:1844), we conclude the equation is exact on (cid:1844). We look for implicit solutions of the form ((cid:1876),(cid:1877)(cid:4666)(cid:1876)(cid:4667))=constant ((cid:1876)((cid:1876),(cid:1877)(cid:4666)(cid:1876)(cid:4667))+(cid:1877)((cid:1876),(cid:1877)(cid:4666)(cid:1876)(cid:4667))(cid:1856)(cid:1877)(cid:1856)(cid:1876)=(cid:882)) must satisfy. To find , we integrate (cid:4666)(cid:884)(cid:4667) with respect to (cid:1877): (cid:4666)(cid:1876),(cid:1877)(cid:4667)= (cid:1877)(cid:4666)(cid:883) (cid:1876)(cid:2870)(cid:4667)(cid:1856)(cid:1877)=(cid:1877)(cid:2870)(cid:884)(cid:4666)(cid:883) (cid:1876)(cid:2870)(cid:4667)+(cid:4666)(cid:1876)(cid:4667) To find , we use (cid:4666)(cid:883)(cid:4667): cos(cid:4666)(cid:1876)(cid:4667)sin(cid:4666)(cid:1876)(cid:4667) (cid:1876)(cid:1877)(cid:2870)=(cid:1876)= (cid:1876)(cid:1877)(cid:2870)+ (cid:4666)(cid:1876)(cid:4667) Because [(cid:1877)(cid:4666)(cid:1876)(cid:4667)](cid:2870) (cid:882) and (cid:886) sin(cid:2870)(cid:4666)(cid:1876)(cid:4667)>(cid:882), (cid:4666)(cid:883) (cid:1876)(cid:2870)(cid:4667) must be >(cid:882). Sometimes it is possible that even though the equation (cid:1842)(cid:4666)(cid:1876),(cid:1877)(cid:4667)(cid:1856)(cid:1876)+(cid:1843)(cid:4666)(cid:1876),(cid:1877)(cid:4667)(cid:1856)(cid:1877)=(cid:882) is not exact, there exists an integrating factor (cid:4666)(cid:1876),(cid:1877)(cid:4667) such that. For (cid:4666)(cid:885)(cid:4667) to be exact we must have (cid:1877)[(cid:4666)(cid:1876),(cid:1877)(cid:4667)(cid:1842)(cid:4666)(cid:1876),(cid:1877)(cid:4667)]=(cid:1876)[(cid:4666)(cid:1876),(cid:1877)(cid:4667)(cid:1843)(cid:4666)(cid:1876),(cid:1877)(cid:4667)] (cid:1877)(cid:1842)+(cid:1842)(cid:1877)=(cid:1876)(cid:1843)+(cid:1843)(cid:1876) (cid:4666)(cid:886)(cid:4667) In general, this partial differential equation for is very hard to solve.
