MATH 33B Lecture Notes - Lecture 4: Differentiable Function, Integrating Factor
Document Summary
Linear homogeneous equations: =(cid:2188)(cid:4666)(cid:4667) (cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)=(cid:882) for all (cid:1872) (cid:4666) , (cid:4667). The interval of existence is (cid:4666) , (cid:4667). (cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)=(cid:1857)(cid:4666)(cid:4667) with (cid:882) constant and (cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)=(cid:1858)(cid:4666)(cid:1872)(cid:4667). We wrote this in one compact formula (cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)=(cid:1857)(cid:4666)(cid:4667) with (cid:4666) , (cid:4667). cos(cid:1872)(cid:1856)(cid:1856)(cid:1872)=sin(cid:1872) (cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)= cos(cid:1872) Method 1: the leibniz method of the integrating factor. If =(cid:882), the interval of existence is (cid:4666) , (cid:4667). If (cid:882), the interval of existence is one of (cid:4672) (cid:2870)+,(cid:2870)+(cid:4673) with . Seek an integrating factor (cid:1873)(cid:4666)(cid:1872)(cid:4667) such that (cid:4666)(cid:1873)(cid:4667)=(cid:1873)(cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)(cid:4672) (cid:1858)(cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)(cid:4673) =(cid:1873)(cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)(cid:1859)(cid:4666)(cid:1872)(cid:4667) (cid:1856)(cid:1873)(cid:1856)(cid:1872)+(cid:1873)(cid:1856)(cid:1856)(cid:1872)=(cid:1873)(cid:1856)(cid:1856)(cid:1872) (cid:1873)(cid:1858)(cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)(cid:4666)(cid:1872)(cid:4667) ((cid:1856)(cid:1873)(cid:1856)(cid:1872)+(cid:1873)(cid:1858)(cid:4666)(cid:1872)(cid:4667))(cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)=(cid:882) Since (cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)=(cid:882) is not a solution to the equation, we can divide by (cid:4666)(cid:1872)(cid:4667) (cid:1856)(cid:1873)(cid:1856)(cid:1872)+(cid:1873)(cid:1858)(cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)=(cid:882) (cid:1856)(cid:1873)(cid:1856)(cid:1872)= (cid:1858)(cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)(cid:1873) (cid:1873)(cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)=(cid:1857) (cid:4666)(cid:4667) Take (cid:1873) to not be the trivial zero solution. Since (cid:1873)(cid:4666)(cid:1872)(cid:4667) (cid:882) we get (cid:1856)(cid:1856)(cid:1872)=+(cid:1872)(cid:1857) with (cid:4666)(cid:882)(cid:4667)=(cid:887) (cid:1858)(cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)=(cid:883),(cid:1859)(cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)=(cid:1872)(cid:1857) (cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)=(cid:1857) (cid:1872)(cid:1857)(cid:1857) (cid:1856)(cid:1872) (cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)= (cid:883)(cid:1873)(cid:4666)(cid:1872)(cid:4667) (cid:1859)(cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)(cid:1873)(cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)(cid:1856)(cid:1872)=(cid:1857) (cid:4666)(cid:4667) (cid:1859)(cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)(cid:1857) (cid:4666)(cid:4667) As (cid:4666)(cid:882)(cid:4667)=(cid:887), get (cid:887)=(cid:4666)(cid:882)(cid:4667)= (cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)=(cid:1857)((cid:883)(cid:884)(cid:1872)(cid:2870)+)for some constant (cid:4666) , (cid:4667) Is a differentiable function and solves the equation. (cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)=(cid:1857)((cid:883)(cid:884)(cid:1872)(cid:2870)+(cid:887)) with interval of existence =(cid:4666) , (cid:4667) (cid:1872)(cid:1856)(cid:1856)(cid:1872)=(cid:886)+(cid:1872)(cid:2872)
