MATH 046 Lecture 4: Initial Value Problems
Document Summary
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:42)(cid:79)(cid:74)(cid:85)(cid:74)(cid:66)(cid:77)(cid:1)(cid:55)(cid:66)(cid:77)(cid:86)(cid:70)(cid:1)(cid:49)(cid:83)(cid:80)(cid:67)(cid:77)(cid:70)(cid:78)(cid:84) (cid:1) initial(cid:1) value(cid:1) problem(cid:1) for(cid:1) first(cid:1) order(cid:1) equation. An(cid:1)initial(cid:1)value(cid:1)problem(cid:1)for(cid:1)a(cid:1) rst(cid:1)order(cid:1)ordinary(cid:1)di erential(cid:1)equation(cid:1)consists(cid:1)of(cid:1)a(cid:1) rst(cid:1) order(cid:1) ordinary(cid:1) di erential(cid:1) equation(cid:1) with(cid:1) the(cid:1) value(cid:1) of(cid:1) the(cid:1) unknown(cid:1) function(cid:1) at(cid:1) a(cid:1) point. (cid:1) The(cid:1) given(cid:1) value(cid:1) of(cid:1) the(cid:1) unknown(cid:1) function(cid:1) at(cid:1) a(cid:1) point(cid:1) is(cid:1) called(cid:1) the(cid:1) initial(cid:1) condition. (x) = y(x). y(0) = 3. is an initial value problem. y(0) = 3 is the initial condition. A solution of an initial value problem is a function which satis es both the di erential equation and the initial condition. From(cid:1) example(cid:1) 1,(cid:1) we(cid:1) know(cid:1) that(cid:1) y(x)(cid:1) =(cid:1) ce number. (cid:1) we(cid:1)use(cid:1)the(cid:1)initial(cid:1)condition(cid:1)to(cid:1)determine(cid:1)the(cid:1)choice(cid:1)of(cid:1) c. (cid:1) for(cid:1) y(x)(cid:1)=(cid:1)ce x(cid:1) is(cid:1) the(cid:1) general(cid:1) solution(cid:1) where(cid:1) c(cid:1) can(cid:1) be(cid:1) any(cid:1) x,(cid:1)we(cid:1)have y(0)(cid:1)=(cid:1)c. We(cid:1)match(cid:1)it(cid:1)with(cid:1)the(cid:1)initial(cid:1)condition(cid:1)and(cid:1)we(cid:1)have(cid:1)c(cid:1)=(cid:1)3. (cid:1) hence(cid:1)y(x)(cid:1)=(cid:1)3e of(cid:1) the(cid:1) initial(cid:1) value(cid:1) probl(cid:70)m. x(cid:1) is(cid:1)the(cid:1)solution(cid:1) (x)(cid:1) (cid:1)2y(x)(cid:1)+(cid:1)e x(cid:1) =(cid:1)0. (1) show that y(x) = ce (2) solve the initial value problem. 2x + e x is the general solution. (x) 2y(x) + e x = 0 (cid:2) y y(0) = 2.
