MATH 140 Lecture Notes - Lecture 8: Power Rule, Differentiable Function

• School: University of Maryland
• Department: Mathematics
• Course: MATH 140
• Professor: Gulick

Document Summary

If a derivative exists at a, then you say that (cid:498)f is differentiable at a(cid:499): derivatives can also be written as (cid:3031)(cid:3052)(cid:3031)(cid:3051), ex1: consider (cid:1858)(cid:4666)(cid:4667)=(cid:3041) where n is a positive integer. Derivative as rate of change: ex5: find the rate of change of the volume v of a spherical balloon with a radius r of. (cid:2869)(cid:2868: cancel like terms: (cid:2872)(cid:2871) lim (cid:2869)(cid:2868)(cid:4666)(cid:2870)+(cid:883)(cid:882)+(cid:883)(cid:882)(cid:2870)(cid:4667, plug in 10: (cid:2872)(cid:2871)(cid:4666)(cid:883)(cid:882)(cid:2870)+(cid:883)(cid:882)(cid:2870)+(cid:883)(cid:882)(cid:2870)(cid:4667)=(cid:2872)(cid:2871)(cid:4666)(cid:885) (cid:883)(cid:882)(cid:2870)(cid:4667)=(cid:886)(cid:4666)(cid:883)(cid:882)(cid:882)(cid:4667)= (cid:886)(cid:882)(cid:882) (cid:3041)(cid:3119)(cid:3040)(cid:3032) Continuity theorem: proof, the converse is generally false. If f(cid:494)(cid:523)x(cid:524) exists (that is, f is differentiable at x = a), then f is continuous at a: note that: lim(cid:3051) (cid:1858)(cid:4666)(cid:4667)=(cid:1858)(cid:4666)(cid:4667) lim(cid:3051) [(cid:1858)(cid:4666)(cid:4667) (cid:1858)(cid:4666)(cid:4667)]=(cid:882, then, lim(cid:3051) [(cid:1858)(cid:4666)(cid:4667) (cid:1858)(cid:4666)(cid:4667)]=lim(cid:3051) [(cid:1858)(cid:4666)(cid:4667) (cid:1858)(cid:4666)(cid:4667)](cid:4666)(cid:3051) (cid:3051) (cid:4667)=lim(cid:3051) [(cid:3033)(cid:4666)(cid:3051)(cid:4667) (cid:3033)(cid:4666)(cid:4667)](cid:4666)(cid:3051) (cid:4667) (cid:3051) . Lim(cid:3051) (cid:4666) (cid:4667)=(cid:1858) (cid:4666)(cid:4667)lim(cid:3051) (cid:4666) (cid:4667)=(cid:882) lim(cid:3051) [(cid:3033)(cid:4666)(cid:3051)(cid:4667) (cid:3033)(cid:4666)(cid:4667)] (cid:3051) : ex: (cid:1858)(cid:4666)(cid:4667)=||,=(cid:882) lim(cid:3051) (cid:2868) |(cid:3051)|(cid:3051)= (cid:883) lim(cid:3051) (cid:2868)+|(cid:3051)|(cid:3051)=(cid:883, the limits are not equal, |x| is continuous at 0, find left and right-side limits: