MATA23H3 Lecture Notes - Lecture 16: Parallelogram, Cross Product
Document Summary
=[(cid:1853)(cid:2869)(cid:2869) (cid:1853)(cid:2869)(cid:2870) (cid:1853)(cid:2870)(cid:2869) (cid:1853)(cid:2870)(cid:2870)],(cid:1876) =[(cid:1876)(cid:2869)(cid:1876)(cid:2870)],(cid:1854) =[(cid:1854)(cid:2869)(cid:1854)(cid:2870)] (cid:1865)(cid:1873)(cid:1864)(cid:1872)(cid:1868)(cid:1864)(cid:1877) (cid:1854)(cid:1877) (cid:1853)(cid:2870)(cid:2870) (cid:1853)(cid:2870)(cid:2870)(cid:1853)(cid:2869)(cid:2869)(cid:1876)(cid:2869)+(cid:1853)(cid:2870)(cid:2870)(cid:1853)(cid:2869)(cid:2870)(cid:1876)(cid:2870)=(cid:1853)(cid:2870)(cid:2870)(cid:1854)(cid:2869) (cid:1865)(cid:1873)(cid:1864)(cid:1872)(cid:1868)(cid:1864)(cid:1877) (cid:1854)(cid:1877) (cid:1853)(cid:2869)(cid:2870) (cid:1853)(cid:2869)(cid:2870)(cid:1853)(cid:2870)(cid:2869)(cid:1876)(cid:2869)+(cid:1853)(cid:2869)(cid:2870)(cid:1853)(cid:2870)(cid:2870)(cid:1876)(cid:2870)=(cid:1853)(cid:2869)(cid:2870)(cid:1854)(cid:2870) Subtract (cid:4666)(cid:1853)(cid:2870)(cid:2870)(cid:1853)(cid:2869)(cid:2869) (cid:1853)(cid:2869)(cid:2870)(cid:1853)(cid:2870)(cid:2869)(cid:4667)(cid:1876)(cid:2869)=(cid:1853)(cid:2870)(cid:2870)(cid:1854)(cid:2869) (cid:1853)(cid:2869)(cid:2870)(cid:1854)(cid:2870) (cid:1876)(cid:2870)= (cid:1853)(cid:2869)(cid:2869)(cid:1854)(cid:2870) (cid:1853)(cid:2870)(cid:2869)(cid:1854)(cid:2869) (cid:1876)(cid:2869)= (cid:1853)(cid:2870)(cid:2870)(cid:1854)(cid:2869) (cid:1853)(cid:2869)(cid:2870)(cid:1854)(cid:2870) (cid:1853)(cid:2870)(cid:2870)(cid:1853)(cid:2869)(cid:2869) (cid:1853)(cid:2869)(cid:2870)(cid:1853)(cid:2870)(cid:2869), (cid:1853)(cid:2870)(cid:2870)(cid:1853)(cid:2869)(cid:2869) (cid:1853)(cid:2869)(cid:2870)(cid:1853)(cid:2870)(cid:2869) The expression (cid:1853)(cid:2870)(cid:2870)(cid:1853)(cid:2869)(cid:2869) (cid:1853)(cid:2869)(cid:2870)(cid:1853)(cid:2870)(cid:2869) is denoted det or ||,|(cid:1853)(cid:2869)(cid:2869) (cid:1853)(cid:2869)(cid:2870) (cid:1853)(cid:2870)(cid:2869) (cid:1853)(cid:2870)(cid:2870)|,det[(cid:1853)(cid:2869)(cid:2869) (cid:1853)(cid:2869)(cid:2870) (cid:1853)(cid:2870)(cid:2869) (cid:1853)(cid:2870)(cid:2870)] This is called the determinant of the (cid:884) (cid:884) matrix, aka. It determines if we have a solution to the linear system (cid:1876) =(cid:1854) . Area of a parallelogram in (cid:2870)spanned by (cid:1853) and (cid:1854) (cid:1853)(cid:1870)(cid:1857)(cid:1853)=(cid:4666)(cid:1854)(cid:1853)(cid:1871)(cid:1857)(cid:4667)(cid:4666) (cid:1857)(cid:1859) (cid:1872)(cid:4667)=||(cid:1853) ||(cid:4666) (cid:4667) ||(cid:1853) ||||(cid:1854) ||(cid:1871)(cid:1866) (cid:1853)(cid:1870)(cid:1857)(cid:1853)(cid:2870)=||(cid:1853) ||(cid:2870)||(cid:1854) ||(cid:2870)sin(cid:2870) |(cid:1853)(cid:2870) (cid:1853)(cid:2871) (cid:1854)(cid:2871)|(cid:1857) (cid:2869) |(cid:1853)(cid:2869) (cid:1853)(cid:2871) (cid:1854)(cid:2871)|(cid:1857) (cid:2870)+|(cid:1853)(cid:2869) (cid:1853)(cid:2870) (cid:1854)(cid:2870)|(cid:1857) (cid:2871) (cid:1871) (cid:1872)(cid:1867) (cid:1853) (cid:1853)(cid:1866)(cid:1856) (cid:1854) (cid:1854)(cid:2869) (cid:1854)(cid:2870) (cid:1854)(cid:2869) (cid:1857) (cid:2871) det[(cid:1857) (cid:2869) (cid:1857) (cid:2870) (cid:1854) (cid:2871)]= (cid:1853) (cid:1854) ,(cid:1872) (cid:1857) (cid:1855)(cid:1870)(cid:1867)(cid:1871)(cid:1871) (cid:1868)(cid:1870)(cid:1867)(cid:1856)(cid:1873)(cid:1855)(cid:1872) (cid:1867)(cid:1858) (cid:1853) (cid:1853)(cid:1866)(cid:1856) (cid:1854) (cid:1853) (cid:2869) (cid:1853)(cid:2870) (cid:1853) (cid:2871) (cid:1854) (cid:2870) (cid:1854) (cid:2869) It turns out that ||(cid:1853) (cid:1854) || is the area of the parallelogram spanned in (cid:2871) by (cid:1853) and (cid:1854) .
