MATH-S 343 Chapter Notes - Chapter 2: Linear Equation, Hyperbola
Document Summary
S343 section 2. 4 notes- differences between linear and nonlinear equations. Find the interval of existence for {(cid:4666)(cid:1872)(cid:2870) (cid:885)(cid:1872)(cid:4667)(cid:1877) +(cid:1877)=sin(cid:1872) (cid:1877)(cid:4666)(cid:883)(cid:4667)=6: (cid:1877) + (cid:2869)(cid:3118) (cid:2871)(cid:1877)= (cid:2869)(cid:3118) (cid:2871)sin(cid:1872, (cid:1868)(cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)= (cid:2869)(cid:3118) (cid:2871) (cid:1859)(cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)= (cid:2869)(cid:3118) (cid:2871) where are these continuous, (cid:1868)(cid:4666)(cid:1872)(cid:4667):(cid:4666) ,(cid:882)(cid:4667)(cid:1515)(cid:4666)(cid:882),(cid:885)(cid:4667)(cid:1515)(cid:4666)(cid:885), (cid:4667, (cid:1859)(cid:4666)(cid:1872)(cid:4667): (cid:4666) ,(cid:882)(cid:4667)(cid:1515)(cid:4666)(cid:882),(cid:885)(cid:4667)(cid:1515)(cid:4666)(cid:885), (cid:4667) Initial time (cid:1872)(cid:2868) is in (cid:4666)(cid:882),(cid:885)(cid:4667), so we conclude by theorem 2. 4. 1 that interval of existence of unique solution to ivp is (cid:4666)(cid:882),(cid:885)(cid:4667) Partial derivatives crash course: suppose (cid:1858)(cid:4666)(cid:1872),(cid:1877)(cid:4667)=(cid:1872)(cid:2870)(cid:1877)(cid:2871: =(cid:884)(cid:1872)(cid:1877)(cid:2871, (cid:3052)=(cid:1872)(cid:2870)(cid:4666)(cid:885)(cid:1877)(cid:2870)(cid:4667) If (cid:1858) linear, hypothesis here translate to 2. 4. 1. Summary of linear equation properties ((cid:1877) +(cid:1868)(cid:4666)(cid:1872)(cid:4667)(cid:1877)=(cid:1859)(cid:4666)(cid:1872)(cid:4667): assuming coefficients (cid:1868),(cid:1859) continuous, general solution containing arbitrary constant exists; value of, expression for solution given (cid:1877)(cid:4666)(cid:1872)(cid:2868)(cid:4667)=(cid:1877)(cid:2868) and choosing =(cid:1877)(cid:2868): (cid:1877)= (cid:2869)(cid:4666)(cid:4667)(cid:1516) (cid:4666)(cid:1871)(cid:4667)(cid:1859)(cid:4666)(cid:1871)(cid:4667) (cid:1856)(cid:1871)+ becomes (cid:1877)=(cid:1516) (cid:4666)(cid:1871)(cid:4667)(cid:1859)(cid:4666)(cid:1871)(cid:4667) (cid:1856)(cid:1871)+(cid:1877)(cid:2868) Ex. not continuous undefined at (cid:1872)= (cid:883) now only undefined at (cid:1877)=(cid:882: possible points of discontinuity (singularities) can be found without solving problem; find where (cid:1868),(cid:1859)
