MATH-S 343 Chapter Notes - Chapter 5: Geometric Series
Document Summary
S343 section 5. 3 notes- series solutions near an ordinary point (part 2) 11-10-16 (not sure if steps correct, but answer is) Assume (cid:1842)(cid:4666)(cid:1876)(cid:4667)(cid:1877) +(cid:1843)(cid:4666)(cid:1876)(cid:4667)(cid:1877) +(cid:1844)(cid:4666)(cid:1876)(cid:4667)(cid:1877)=(cid:882) has solution (cid:1877)=(cid:4666)(cid:1876)(cid:4667), where has taylor series (cid:1877)=(cid:4666)(cid:1876)(cid:4667)= (cid:1853)(cid:3041)(cid:4666)(cid:1876) (cid:1876)(cid:2868)(cid:4667)(cid:3041) that converges for |(cid:1876) (cid:1876)(cid:2868)|< (cid:3041)=(cid:2868: (cid:1853)(cid:3041) can be determined by directly substituting (cid:4666)(cid:1876)(cid:4667) in for (cid:1877) in ode. =(cid:1865)! (cid:1853)(cid:3040: to compute (cid:1853)(cid:3041) in , must show we can determine (cid:4666)(cid:3041)(cid:4667)(cid:4666)(cid:1876)(cid:2868)(cid:4667) for (cid:1866)=(cid:882),(cid:883),(cid:884), from ode. Suppose (cid:1877)=(cid:4666)(cid:1876)(cid:4667) is solution to ode satisfying initial conditions (cid:1877)(cid:4666)(cid:1876)(cid:2868)(cid:4667)=(cid:1877)(cid:2868),(cid:1877) (cid:4666)(cid:1876)(cid:2868)(cid:4667)=(cid:1877)(cid:2868) ; then (cid:1853)(cid:2868)=(cid:1877)(cid:2868) and (cid:1853)(cid:2869)=(cid:1877)(cid:2868) . If we want solution to ode without specifying initial conditions, (cid:1853)(cid:2868),(cid:1853)(cid:2869) stay arbitrary. Since is solution to ode, we can substitute it: (cid:1842)(cid:4666)(cid:1876)(cid:4667) (cid:4666)(cid:1876)(cid:4667)+(cid:1843)(cid:4666)(cid:1876)(cid:4667) (cid:4666)(cid:1876)(cid:4667)+(cid:1844)(cid:4666)(cid:1876)(cid:4667)(cid:4666)(cid:1876)(cid:4667)=(cid:882) For interval about (cid:1876)(cid:2868) on which (cid:1842) (cid:882), can rewrite equation: (cid:4666)(cid:1876)(cid:4667)= (cid:3018)(cid:4666)(cid:4667)(cid:3017)(cid:4666)(cid:4667) (cid:4666)(cid:1876)(cid:4667) (cid:3019)(cid:4666)(cid:4667)(cid:3017)(cid:4666)(cid:4667)(cid:4666)(cid:1876)(cid:4667)= (cid:1868)(cid:4666)(cid:1876)(cid:4667) (cid:1869)(cid:4666)(cid:1876)(cid:4667) Since (cid:1842),(cid:1843),(cid:1844) all polynomials and (cid:1842) (cid:882), all derivatives of (cid:1868),(cid:1869) exist at (cid:1876)(cid:2868); can continue to differentiate indefinitely.
